1/f随机过程

0. 前言

在看《Backscattering Properties of MultiScale Rough Surfaces》这篇文章的时候，发现自己对 $ 1/f $ 随机信号一无所知，然后找到了《一种 1/f 噪声模型的分析方法》这篇文章。

1. $ 1/f $ 模型

1.1 $ 1/f $ 模型定义

1/f 过程是指其功率谱密度满足如下关系的随机过程：

$$s_x(\omega) \sim \frac{\sigma_x^2}{\vert \omega \vert^\gamma}$$

其中 $\omega_x^2$ 为谱常量, $\gamma$ 为频率指数或谱常数，范围为0到2。

准确定义：广义上平稳零均值的随机过程 $x(t)$ ，如果出现了上下限频率 ，并被理想带通滤波器滤波后,其输出信号满足

$$\frac{\sigma_L^2}{\vert \omega \vert^\gamma} \leq s_x(\omega) \leq \frac{\sigma_U^2}{\vert \omega \vert^\gamma}$$

因此自然界的 $1/f$ 过程只能在一定频率范围存在。

1.2 $ 1/f $ 过程性质

1. $ 1/f $过程的均值为0
2. $ 1/f $过程具有统计自相似性(即对于 $a>0$ 存在常数 $H$ 使 $x(t)=a^{-H}x(at)$, $H$ 表示自相似程度)

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